بحران های تاریخ ریاضیات

  

1. بحران اول ( قرن پنجم قبل از میلاد) ؛ رسوایی فیثاغورسیان !

اولین بحران در مبانی ریاضیات در قرن پنجم قبل از میلاد بروز کرد ؛ در واقع چنین بحرانی پیش از این نمی توانست رخ دهد ، چرا که با مطالعه تاریخ ریاضیا پی می بریم که ریاضیات به عنوان یک علم استنتاجی تا قبل از قرن شم قبل از میلاد تأویل نشده بود . تصور می رود که همزمان با تالس ، فیثاغورث و شاگردان آنها ریاضیات تأویل شده باشد .

در زمان فیثاغورس و شاگردانش ( فیثاغورسیان )  از اعداد صحیح برای شمارش و از اعداد گویا یا همان کسرها ، برای اندازه گیری کمیت هایی از قبیل طول و وزن که اکثر اوقات مساوی با یک عدد صحیح نبودند ، استفاده می کردند . آنها اعداد گویا را به صورت خارج قسمت دو عدد صحیح  p / q، که در آن  0 ≠ q  تعریف می کردند .

 در نظر آنها کمیت های هندسی متناسب هستند یعنی یک واحد مشترک اندازه گیری دارند . به طور روشن تر برای هر دو پاره خط داده شده می توان پاره خط سومی ، ولو هر چقدر کوچک ، پیدا کرد که به تعداد درستی در هر یک از آن دو پاره خط بگنجد . مثلا می توان پاره خط هایی به طول 2 و 3 واحد را با پاره خطی به طول 6/1 واحد اندازه گرفت . یعنی پاره خط 2 واحدی شامل 12 تا پاره خط  1/6 واحدی و پاره خط 3 واحدی شامل 18 تا پاره خط  1/6 واحدی است .

اما ناگهان آنها پی بردند که قطر و ضلع مربع شامل هیچ واحد مشترکی برای اندازه گیری نیستند !  آنها فکر می کردند که هر نقطه روی محور اعداد متناظر با  یک عدد گویا هست . اما حالا فهمیده بودند که نقاطی بر خط وجود دارد که متناظر با هیچ عدد گویایی نیستند  !

این کشف بسیار مخرب بود . در حقیقت همچون تندری مرگبار بود بر فلسفه ی فیثاغورسیان  که تماما بر اعداد صحیح استوار بود . بعد از آن ، به نظر می رسید که با حس عمومی نیز تناقض دارد ، زیرا به طور شهودی احساس می شد که هر کمیتی را می توان با عددی گویا بیان کرد . چون باعث می شد که کل نظریه ی فیثاغورسیان در مورد تناسب و نتایج حاصل از آن زیر سوال برود و حتی دور انداخته شود .  

این " رسوایی منطقی " آن چنان عظیم بود که برای مدتی سعی می شد موضوع مخفی نگه داشته شود . افسانه ای با این مضمون وجود دارد که هیپاسوس فیثاغورسی به خاطر افشای این راز ، به دریا افکنده شد یا مطابق با روایتی دیگر از انجمن فیثاغورسیان طرد شد و قبری برای وی برپا گردید آن چنان که گویی مرده است .

تا مدت ها ، 2√ تنها عدد غیرگویا ( گنگ ) شناخته شده بود . بعدها ، به گفته ی افلاطون ، تئودوروس نشان داد که     3√ ، 5√ ، ... ، 15√ و 17√ نیز گنگ هستند .

حل این بحران نه به آسانی و نه به سرعت میسر نشد . سرانجام در حدود سال های 370 قبل از میلاد ، این بحران توسط ادوکسوس که شاگرد افلاطون و آرخوتاس بود ، حل شد . او نظریه ی کمیت های متناسب را بازسازی کرد و تعریف جدیدی از تناسب ارائه کرد . بدین سان او یکی از بزرگترین و ماهرانه ترین کارهای ریاضی همه ی قرون و اعصار را ارائه داد . مبحث خارق العاده ادوکسوس در مورد کمیت های نامتناسب را می توان در مقاله پنجم اصول اقلیدس یافت . این مبحث اساسا با توصیف اعداد اصم ( گنگ ) که توس ریچارد ددکیند در سال 1872 ارائه گردید تطابق دارد .

شکی نیست که پیامد چنین کشفی ، عکس العمل حادی در تفکر ریاضی بود . به خصوص بر این امر تاکید کند که بر چه چیزهایی به عنوان فرضیات بنیادی باید توافق کرد ، اهمیت اساسی دارد . بنابراین بحرانی از این گونه که با کشف اعداد گنگ آغاز گشته بود می تواند به عنوان مبداء روش مدرن ریاضی و تولد ریاضیات برهانی  نیز تلقی گردد . و در چنین صورتی افتخار اختراع روش مدرن ریاضی را باید تا اندازه ای به ادوکسوس نسبت داد . 

2. بحران دوم ( قرن هفدهم ) ؛ دردسرهای حساب دیفرانسیل و انتگرال !

دومین بحران در مبانی ریاضیات با کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتن و لایب نیتز در اواخر قرن هفدهم پدید آمد . با وجود استفاده از توان و کاربردپذیری این وسیله ی جدید ، پیروان این دو دانشمند نتوانستند استحکام و درستی اصولی را که این تئوری بر آنها استوار بود بررسی کنند و به جای اینکه اصول گواه بر درستی نتنایج باشد ، با استفاده از نتایج ، درستی اصول مورد تحقیق قرار می گرفت . در واقع اصلا « اصولی » در کار نبود زیرا که آنالیز قرن هفدهم برخلاف هندسه به روش تئوری و منطقی بنا نشده بود . 

همه ی شرح های اولیه ی فرآیند حساب دیفرانسیل و انتگرال مبهم و آمیخته با مشکلات بوده و درک آنها آسان نیست . بعضی از این شرح ها بر استدلال های نامعقول و اسرار آمیز استوار است . همانند این بیان یوهان برنولی که گفته است « هر کمیتی که به اندازه ی کمیت بینهایت کوچکی کاهش یا افزایش یابد ، نه کاهش می یابد و نه افزایش می یابد »

وقتی که نظریه یک عمل ریاضی به گونه ای ضعیف تفهیم گردد ، همواره این خطر وجود دارد که این عمل به گونه ای کورکورانه و شاید غیرمنطقی اعمال گردد . شخصی که از محدودیت های ممکن این عمل آگاه نیست ، عمل را احتمالا در مواردی به کار خواهد گرفت که لزوما قابل اعمال نخواهد بود . مدرسین ریاضی شاهد اشتباه کاری هایی از این دست هستند که به طور روزمره توسط شاگردانشان انجام می گیرد . مثلا یک دانشجوی جبر مقدماتی مصرانه تصور می کند که رابطه 1 = ^°a  برای هر عدد حقیقی برقرار است در نتیجه فرار می دهد : 1 = ^°o  !    و یا یک دانشجوی حساب دیفرانسیل و انتگرال که از انتگرال های توسعی آگاه نیست ، ممکن است با اعمال به ظاهر درست قواعد انتگرال گیری نتیجه های نادرستی به دست آورده یا اینکه ممکن است از راه به کار بستن یک سری نامتناهی که فقط دارای همگرایی مطلق است به نتیجه ای متناقض دست یابد . 

ریاضیدانهای قرن نوزدهم که تحت تاثیر کاربرد پذیری فوق العاده این موضوع قرار داشتند به واسطه خلاء ناشی از درک حقیقی مبانی این علم، تکنیک های آن را به طور کورکورانه ای به هر وضعیت به کار می گرفتند . از جمله کارهای ریاضیدان بزرگ سویسی لئونارد اویلر مثال مهمی از فرمول گرایی قرن هیجدهم در آنالیز می باشد . فرمول گرایی اویلر وی را در موقعیت هایی به  اشتباه کاری هایی  رهنمون می کرد . برای مثال ، هرگاه قضیه دوجمله ای را برای  ^1- ( 2-1 ) اعمال کنیم ، به دست می آوریم :                                                                                                                          ... + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1-  

نتیجه ای که باعث حیرت اویلر نگردید !

ریاضیدانهای قرن های هفدهم و هیجدهم اطلاع اندکی از سری های نامتناهی داشتند . در نتیجه این حوزه از ریاضیات پارادوکس های بسیاری را به وجود آورد . اگر سری :  

                                                 ... 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = S                 را در نظر بگیریم و جملات این ری را به طریقی گروه بندی کنیم ، به دست می آوریم :  

                                                   ... + ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) = S 

                                                                                          ...  +  S  =  o + o + o + o

 = S          o    

در حالی که هرگاه جملات را به طریق دیگری دسته بندی کنیم ، داریم :                                                                                               ... – ( 1 – 1 ) – ( 1 – 1 ) – ( 1 – 1 ) – ( 1 – 1 ) – 1 = S   

                                                                                                ... - 0 - 0 - 0 - 1 = S 

                                                                                                                     1 = S 

اولین پیشنهاد برای یک اصلاح واقعی وضع قانون ناموفق مبانی آنالیز از طرف دالامبر بود . او بسیار به جا تشخیص داد که به تئوری حدود نیاز است ( 1734 میلادی ) . اما توسعه ی صحیحی از این تئوری تا به سال 1821 مقدور نگشت . اولین ریاضیدانی که واقعا به منقی کردن حساب دیفرانسیل و انتگرال همت گذاشت ریاضیدان ایتالیایی جوزف لویز لاگرانژ بود . در قرن نوزدهم ساختار عالی تری از آنالیز بروز کرد که بر مبنای عمیق تری استوار بود . این کار بدون شک مدیون کارل فریدریش گاوس بود که بیشتر ازهر ریاضیدان قرن هیجدهم از شهود طحی و فرمول گرایی آنالیز گذشت و استانداردهای عالی منطقی جایگزین کرد .

پیرفت بزرگی در سال 1821 میلادی رخ داد و آن زمانی بود که ریاضیدان فرانسوی آگوست لویی کوی به ور موفقیت آمیزی پیشنهاد دالامبر را عملی کرده و یک تئوری قابل قبول برای حدود ابداع کرد و سپس مفاهیم مهمی چون پیوستگی ، مشتق پذیری و انتگرال معین را با استفاده از مفهوم حد تعریف کرد . آنگونه که امروزه ما در کتاب های حساب دیفرانسیل و انتگرال ملاحظه می کنیم .

مفهوم حد یقینا یکی از ضروری ترین مفاهیم برای گسترش آنالیز است . زیرا همگرایی و واگرایی سری ها نیز به این مفهوم وابسته است . کار منطقی کوشی دیگر ریاضیدانها را تهییج کرد که به او بپیوندند و آنالیز را از شهود گرایی سطحی و فرمول گرایی نجات دهند . ریاضیدان آلمانی کارل وایراشتراس در سال 1874 میلادی مثالی از یک تابع پیوسته نشان داد که فاقد مشتق بود . به عبارت دیگر منحنی که در هیچ یک از نقاط خود دارای مماس نبود . مثال وایراشتراس خیزش جدی علیه به کارگیری شهود هندسی در مطالعات آنالیز به شمار می رفت .

کم کم  نمایان شد که نظریه حد ، پیوستگی و مشتق پذیری بر ویژگی های اساسی تری از سیستم اعداد حقیقی بستگی دارند که قبل از این تصور نمی رفت . این پیوند وقتی بیشتر آشکار شد که ریمان دریافت که کوشی یک رط غیر ضروری را برای تعریف انتگرال معین فرض کرده است . ریمان ثابت کرد که انتگرال معین ، حتی وقتی که انتگرال ها ناپیوسته اند به عنوان حد حاصل جمع ها وجود دارد ( انتگرال های ناسره یا غیرحقیقی ) . همچنین ریمان تابعی تعریف کرد که برای همه ی مقادیر گنگ متغییر ، پیوسته و برای همه ی مقادیر گویای متغییر ، ناپیوسته است .

 مثال هایی از این دست به گونه ای فزاینده این امر را آشکار می کرد که در راه مبانی مستحکم آنالیز ، کوشی به قعر حقیقی مشکلات پی نبرده است . در ته هر چیزی هنوز ویژگی هایی از اعداد حقیقی قرار دارد که نیازمند درک بیشتری هستند . بنابراین وایراشتراس برنامه ای تهیه دید که در آن نخست خود سیستم اعداد حقیقی می بایست سامان می یافت ؛ سپس همه ی مفاهیم بنیادی آنالیز از این سیستم به دست می آمد . این برنامه مهم به « حسابی کردن آنالیز » مشهور است .

این کار بسیار مشکل می نمود اما سرانجام توسط وایراشتراس و شاگردانش انجام شد . به طوری که امروزه به خوبی می توان ادعا کرد که آنالیز کلاسیک به گونه ای مستحکم بر سیستم اعداد حقیقی به عنوان یک مبانی استوار شده است . وایراشتراس در سال 1897 میلادی فوت کرد یعنی درست صد سال بعد از اولین کار منتشر شده لاگرانژ که طی آن کوشش کرده بود حساب دیفرانسیل و انتگرال سامانی منطقی پیدا کند .     

3 . بحران سوم ( 1897 ) ؛  آرایشگر بلاتکلیف !

سومین بحران در مبانی ریاضیات به ناگاه در سال 1897 میلادی به وقوع پیوست . گرچه در حدود یک قرن از آن تاریخ می گذرد ولی هنوز آنگونه که همه ی متخصصین را قانع کند ، حل و فصل نشده است . این بحران با کشف پارادوکس هایی در تئوری عمومی مجموعه های کانتور آغاز گردید . از آنجا که قسمت اعظمی از ریاضیات با مفاهیم مجموعه ها عجین است و از این حیث نظریه مجموعه ها به عنوان پایه ی ریاضیات تلقی می گردد ، کشف این پارادوکس طبعا شک و نگرانی بزرگی در برقراری همه ی مبانی ریاضیات به همراه داشته است .

در سال 1897 ، ریاضیدانی ایتالیایی به نام برالی – فورتی اولین پارادوکس تئوری مجموعه ها را منتشر کرد . در سال بعد پارادوکسی بسیار شبیه این پارادوکس توسط خود کانتور کشف شد . کانتور در تئوری مجموعه ها موفق شد ثابت کند که برای هر عدد اصلی ، عددی اصلی و بزرگتر از آن وجود دارد . یعنی هیچ عدد اصلی که بزرگترین باشد وجود ندارد . اکنون مجموعه ای را در نظر می گیریم که اعضای آن همه ی مجموعه های ممکن باشند . یقینا هیچ مجموعه ی دیگری وجود ندارد که اعضای بیشتری از این مجموعه داشته باشد . اما اگر چنین است چگونه است که عددی اصلی وجود خواهد داشت که از عدد اصلی این مجموعه بزرگتر می باشد ؟

در حالی که پارادوکس های برالی و کانتور در رابطه با نتایج تئوری مجموعه ها هستند ، برتراند راسل در سال 1902 میلادی پارادوکسی کشف کرد که به هیچ چیز جز مفهوم مجموعه بستگی ندارد . صورت عامیانه پارادوکس به این صورت است که : یک آرایشگر در دهکده ای فقط صورت کسانی را اصلاح می کند که خودشان صورتشان را اصلاح نمی کنند . پارادوکس از این جا ناشی می شود که بخواهیم به این سوال پاسخ دهیم « آیا این آرایشگر صورت خود را اصلاح می کند ؟ »

وجود پارادوکس ها در تئوری مجموعه ها به روشنی حاکی از این است که باید چیزی در این تئوری غلط باشد . از زمان کشف این پارادوکس ها تا به امروز تحقیقات زیادی در این موضوع انجام گرفته است . به نظر می رسید که راه حل ساده ای برای خروج از این بن بست وجود دارد . بدین قرار که کافی است تئوری مجموعه ها را طوری بازسازی کنیم به طوری که پارادوکس های معلوم را کنار بگذارد .

اقداماتی توسط زرمیلو ( 1908 ) ، فرانکل ، اسکولم ، فن نیمان ، برنانز و دیگران صورت پذیرفت اما چنین روش هایی مورد انتقاد قرار گرفت زیرا که در آنها از پارادوکس ها صرفا احتراز می شود ؛ و به یقین به توضیح آنها کمک نمی کند . وانگهی ، این روش هیچ تضمینی نمی کند که در آینده پارادوکس های دیگری رخ ندهد .

پوانکاره مسبب پارادوکس ها را در تعریف های مقید آنها می دانست . راسل نیز چنین نظری را در اصل خود موسوم به اصل دور باطل بیان داشته است : هیچ مجموعه ای چون  S مجاز به داشتن اعضایی چون  m  نیست که فقط بر حسب  S  تعریف شده باشند  ، یا اعضایی چون  m  که  S  را پیش فرض کرده و یا درگیر  S  باشند . این تعریف محدودیتی بر مفهوم مجموعه قائل می شود .

بنابراین به نظر می رسد که غیر قانونی کردن تعریف های مقید راه حلی برای پارادوکس های مشهور باشد اما ، یک اعتراض جدی بر این راه حل باقی می ماند ؛ و آن از این قرار است که در قسمت هایی از ریاضیات که ریاضیدانها تمایلی به حذف آن ندارند ، تعریف های مقید وجود دارند . مثالی از یک تعریف مقید در ریاضیات تعریف کوچکترین بند بالا یا سوپریمم یک مجموعه از اعداد حقیقی است . سوپریمم یک مجموعه مفروض عبارت است از کوچکترین عضو مجموعه ی همه ی بندهای بالای آن مجموعه . موارد مشابه بسیاری از تعریف های مقید در ریاضیات وجود دارد .

در سال 1918 میلادی ، هرمان وایل در تلاش بود که مشخص کند چه مقدار از آنالیز را می توتن بدون استفاده از تعریف های مقید از اعداد طبیعی استخراج کرد . گر چه وی توانست بخش بزرگی از آنالیز را بسازد اما نتوانست قضیه سوپریمم یا همان اصل کمال را به دست آورد . برخی دیگر از ریاضیدانها برای حل مساله پارادوکس ها به منطق متوسل شدند .

باید اذعان کرد که کشف پارادوکس ها در تئوری مجموعه ها منجر به تحقیقی کلی در مبانی منطق شده است . یک راه حل خروج از مشکل پارادوکس ها شاید استفاده از منطق سه ارزشی باشد . برای مثال ، در پارادوکس راسل ملاحظه می کنیم « گزاره ی  N عضو خودش است » می تواند نه درست و نه نادرست باشد . در اینجا یک امکان سوم می تواند مفید باشد و این وضع را می توان با این قرار که ارزش درستی گزاره برابر  ؟  است حفظ کرد .

 منابع :

1 . تاریخ ریاضیات - ایوز

2 . فلسفه علم ریاضی - بیژن زاده